Zadania 3. kola
„Čo sa to deje, mali by sme sa vrátiť. Už sme dosť dlho preč a brigádu sme stále nenašli,“ povedal Macker po tom, čo starčekovia odišli.
„Hej, vráťme sa, to čo sa tu deje, nie je normálne,“ odvetil Merlin.
A tak sa Merlin s Mackerom vydali naspäť a po nejakej tej chvíli sa dostali na cestu, na ktorej bola čerpacia stanica.
„Aha to sú tie dve stíhačky, čo sme videli na oblohe!“
„A prostredná z nich tankuje!“
„Čo? To nedáva zmysel!“
„No pozri sa sám.“
1. príklad
Cena nafty, ktorú natankovala prostredná stíhačka, je dvojciferné číslo, pre ktoré platí, že ak na jeho začiatok pripíšeme číslicu 7, dostaneme dvakrát také veľké číslo, ako keby sme na koniec pôvodného čísla pripísali číslicu 8. Aké je toto číslo? Nájdite všetky možnosti a vysvetlite, prečo už ďalšie nie sú.
„Poďme ďalej, nezdržujme sa tu nejakými stíhačkami,“ povedal Merlin.
Vydali sa zas na cestu a ako tak kráčali, tak si všimli princa, ktorého stretli nedávno, a tak išli za ním, no kým k nemu stihli dôjsť, tak uschol.
„Toto už vôbec nedáva zmysel, prečo by princ usychal?“
„A prečo má vo vreci hlavu nejakej devy a labu draka?“ odvetil Merlin.
2. príklad
Obsah obdĺžnika DRAK je 44, obsah obdĺžnika DEVY je 64 a obsah šesťuholníka DEVLAK je 92. Dĺžky všetkých strán sú celé čísla. Určte dĺžky strán šesťuholníka DEVLAK. Nájdite všetky možnosti a vysvetlite, prečo už ďalšie nie sú.
„Fuj, prečo je v tom vreci hlava?“ povedal Macker a odhodil vrece.
„Pozri hentam do údolia, nejako veľa zvierat tam je,“ odvetil Merlin, ktorý sa znechutený radšej otočil smerom od zoschnutého princa.
3. príklad
V údolí sú zvieratá štyroch rôznych typov: cicavce, plazy, vtáky a hmyz. Jednu pätinu všetkých zvierat tvoria cicavce, dve devätiny plazy, štyri pätnástiny vtáky a zvyšok je hmyz. Koľko zvierat je v údolí, ak zo žiadneho druhu ich nie je menej ako 30 ani viac ako 60?
„Prečo sa tam stretlo toľko zvierat?“
„Neviem, ale vyzerá to že chýbajú krokodíly.“
„Poďme sa opýtať prečo.“
A tak zišli ku zvieratám a došli až k žirafe, ktorá vyzerala, že vedie toto stretnutie.
„Prečo tu nie sú krokodíly?“ opýtal sa Merlin.
„Padli na ne tehly a zomreli,“ odpovedala žirafa.
„Koľko krokodílov vlastne malo prísť?“ ďalej vyzvedal Merlin.
„No to je zložité…“
4. príklad
Počet krokodílov vieme zapísať ako kladné celé číslo n také, že keď ho zaokrúhlime
- na 15,
- na 49,
- najprv na 15 a tento výsledok potom na 49,
- najprv na 49 a tento výsledok potom na 15,
tak dostaneme 4 rôzne čísla. Aké najmenšie môže byť n? Nezabudnite vysvetliť, prečo už nemôže byť menšie.
Poznámka: Číslo a zaokrúhlené na b je násobok čísla b najbližší k číslu a (vrátane 0). Napríklad číslo 7 zaokrúhlené na 3 je 6, ale 8 zaokrúhlené na 3 je 9.„Poďme sa pozrieť k rieke, možno sa nám podarí ich zachrániť,“ navrhol Merlin.
„To je dobrý nápad,“ odvetil Macker.
Keď došli k rybníku, našli v ňom červený balkón.
„HA-HA-HA, kukaj Merlin, v tom jazere je balkón,“ zasmial sa Macker.
„Tebe to príde vtipné? Lebo mne nie,“ zakričal na Mackera jeden z nešťastných traktorov pri rieke.
„Prepáčte,“ ospravedlnil sa Macker, „nevedeli sme, že to je váš balkón.“
„No, nestoj tam tak a poď nám pomôcť, potrebujeme sa rozdeliť na dva záchranné tímy, aby sme dostali ten balkón z vody.“
5. príklad
Pri jazere je dvanásť traktorov štyroch značiek. Z každej značky tam je malý, stredný a veľký traktor. Chcú sa rozdeliť do dvoch tímov po šesť tak, aby v každom tíme bol aspoň jeden traktor z každej značky. Koľko rôznych rozdelení na tímy existuje?
„Teraz, keď sme vám pomohli, tak nám môžete povedať, načo ten balkón potrebujete,“ opýtal sa Merlin.
„No, viete čo je červené a zlé na zuby?“ odpovedal otázkou traktor.
„Lízatká alebo cukrová vata?“
„Nie, balkón. A teraz už choďte, lebo zistíte, ako je zlý na zuby,“ zaštekal traktor a odletel naspäť na základňu.
Ako tak Merlin s Mackerom odchádzali, tak si všimli, že pole je vlastne štvorčeková sieť a Dve padajúce babky na ňom hrajú nasledovnú hru:
6. príklad
Stará mama a Babička hrajú hru na poli, ktoré je štvorčeková sieť veľkosti 5\times 5. Babky sa striedajú v ťahoch. Vo svojom ťahu babka hodí balkón svojej farby (zafarbí políčko) na práve jedno ešte nezafarbené políčko. Keď už budú všetky políčka zafarbené, hra končí. Vyhráva tá, ktorej obvod všetkých jej políčok je dlhší (ak sú obvody rovnaké, nevyhrá nikto). Začína Stará mama. Vie niektorá babka vždy vyhrať bez ohľadu na to, ako hrá tá druhá? Ak áno, ako, a ak nie, prečo?
Po skončení hry môže pole vyzerať napríklad takto:
Tu vyhrala Babička s obvodom 10+6+10=26, Stará mama mala obvod len 24.
„Macker, pozri, aké má tá stará mama veľké oči, ba dokonca má aj úplne veľké zuby!“
„Ale Merlin, choď už dakam s tou lupou a hýb sa, chceme sa vrátiť domov do západu slnka!“
„Slnko sa už dotýka obzoru, to už nemáme veľa času.“
7. príklad
Zem a slnko sú dve kružnice, ktoré sa zvonka dotýkajú v bode X. Nech t je ich spoločná dotyčnica, ktorá sa ich dotýka postupne v rôznych bodoch A a B. Ukážte, že uhol AXB je pravý.
„Tak sa hýbme, už nestíhame ako tanky, ktoré nás nepustili na púšti,“ zavelil Macker.
„Ale mohli by sme počas tejto cesty zistiť, čo sú naše obľúbené čísla, lebo to určite dáva zmysel.“
8. príklad
Traja kamaráti Macker, Merlin a Danko majú každý svoje obľúbené prirodzené číslo. Vieme, že obľúbené číslo Mackera je najväčší spoločný deliteľ obľúbených čísel zvyšných dvoch, a že obľúbené číslo Merlina z nich je aritmetický priemer obľúbených čísel zvyšných dvoch. Taktiež vieme, že súčin ich obľúbených čísel je 78750. Aké sú ich obľúbené čísla? Nájdite všetky možnosti.
„Odkedy sme traja?“ zmätene sa opýtal Macker.
„Odvtedy, čo Paraguaj prešiel z parného pohonu na naftu a volá sa Uhloguaj,“ odvetil Merlin.
„Čo? Prečo? Ako?“
„Aha, vidíš tam tie dva stromy, ehm teda päť?“
„Áno, vidím.“
9. príklad
Predstavme si, že tieto dva stromy sú dve rovnobežné priamky p,q a Merlin je bod A, ktorý leží mimo pásu medzi priamkami. Zostrojte štvorec ABCD taký, že body B a D ležia na priamkach p,q.
Toto je konštrukčná úloha, kde sa snažíte nájsť postup, ako niečo narysovať pomocou pravítka a kružidla. Detailnejší návod, ako má takéto riešenie vyzerať, nájdete napríklad tu.„Pozri Macker, tam je paradajka za rohom!“ zvolal Danko.
*zvuk mixéra*
„Tak už je z nej horčica,“ odvetil Macker, „to ale nemení nič na tom, že sa nestíhame vrátiť.“
V tom za nimi prišiel snehuliak.
„Ani vy nestíhate?“ opýtal sa snehuliak.
„Áno, do západu slnka máme byť doma, vy sa kam ponáhľate?“ opýtal sa Macker.
„No podľa môjho kalendára má byť o 10 minút 37°C a to mám byť v práci“ odvetila mláka.
„Macker, zisti od neho kde bývaš a ako sa tam dostať,“ zakričal na Mackera Duško, ktorého už táto brigádová výprava začala nudiť.
„Ako sa dostanem odtiaľto domov?“ opýtal sa Havoš.
Paraguaj, teda už reformovaný Elektrinoguaj, odvetil:
10. príklad
Majme tabuľku n\times n. Cesta nech je ľubovoľná postupnosť susedných políčok, ktorá vedie z ľavého horného do pravého dolného rohu tak, že ideme len doprava a dole. Koľkými spôsobmi vieme políčka tabuľky ofarbiť na biele a čierne tak, že všetky cesty obsahujú rovnaký počet čiernych políčok?
„To ale vôbec nevysvetluje, ako sa nazýva babka v púšti,“ zmätene odvetila Alicka.
„Otvor jednare, ak to nepomôže, tak dvere, a zistíš že kocúr na štyri je rybička, ale viac by ti povedala tehla, keby žila, len na ňu bohužiaľ padla babka,“ zavolal kečup, ktorý sa už pobral na odchod.
„Nevieš aspoň, kde zoženiem chleba? Vedľa je mäsiarstvo, tak sa chcem namáčať,“ rozlúčil sa s kečupom s vlkodlackými chúťkami Prutky.
„No zistila si tú cestu, Sima?“ spýtal sa Erik.
„Nie, ale viem, že treba nájsť zlatú rybku, a keď jej splníme 3 želania, ona nám odovzdá vyriešené riešky,“ odvetil Mati.
V tom sa už našťastie Macker prebudil a uvedomil si, že všetko bol len sen, a rozhodol sa, že svoj nápad s kašlaním na školu radšej zahodí a bude sa poctivo učiť. Nech nemusí skončiť s kečupom na poli.