Zadania 1. kola
Macker a Merlin sa jedného dňa rozhodli, že škola ich už nebaví a nebudú do nej chodiť. Na to im rodičia povedali, že keď nedokončia školu, tak budú makať na poli. To neznelo až tak zle, a tak sa spolu vydali na brigádu na pole. Aby však zistili, kde majú začať pracovať, tak sa pozreli na mapu.
1. príklad
Na mape sa nachádzajú polia a cesty medzi nimi. V každej križovatke ciest (krúžok) sa nachádza nejaký počet studní (číslo od 0 do 9, môže byť aj na viacerých miestach rovnako veľa studní). Každé tulipánové pole (tie s 3, 9 a 10) má na sebe napísaný súčet počtov studní na jeho obvode (čísel v krúžkoch) a každé pšeničné pole (tie s 5 a 15) má na sebe napísaný súčin počtov studní v križovatkách na jeho obvode. Pomôžte Mackerovi zistiť, na ktorej križovatke je koľko studní. Nájdite všetky možné riešenia a vysvetlite, prečo iné už nemôžu byť.
Keď sa Macker s Merlinom konečne dostali na miesto brigády, našli tam len niekoľko studní a ceduľu náučného chodníka ešte z medzivojnového obdobia. Macker chcel vedieť, koľko je tých studní dokopy, ale nenapadlo mu pozrieť sa a spočítať ich. Na ceduli však boli napísané nejaké informácie, z ktorých by sa to možno dalo zistiť.
2. príklad
Na ceduli je napísané, že všetky studne na križovatke dokopy mali priemernú hĺbku 18 metrov. Po prvej svetovej vojne však jednu studňu hlbokú 38 metrov úplne zasypalo a zvyšné, čo zostali nedotknuté, majú priemernú hĺbku 14 metrov. Koľko studní je na lúke?
Poznámka: Priemerná hĺbka (aritmetický priemer) sa počíta tak, že sčítame hĺbky jednotlivých studní a výsledok vydelíme počtom studní.Merlin sa priblížil k jednej zo studní, a keď sa do nej pozrel, nevidel žiadne dno. „Počuj, Macker, neverím, že sú tie studne tak plytké, však nie je vidno na dno.“ „Skúsme tam hodiť kamene, možno zistíme, aké sú hlboké.“ A tak sa vybrali hádzať kamene do studne.
3. príklad
Každý z 50 kameňov má celočíselnú hmotnosť v kilogramoch, pričom najlahšie majú 2\,\text{kg} a najťažšie 5\,\text{kg}. Vieme, že najviac kameňov váži 4\,\text{kg}, 20 kameňov má hmotnosť 3\,\text{kg} a aspoň jeden kameň váži 5\,\text{kg}. Všetky kamene majú dokopy 168\,\text{kg}. Koľko je 2-, koľko 4- a koľko 5-kilogramových kameňov?
„Počul si nejaký zvuk dopadu kameňa?“
„Nie, asi je to najhlbšia studňa, možno dokonca bezodná studňa!“
Vtom však, ako toto Merlin dopovedal, sa ozvali hlasy zo studní. To preto, že sa začali studne hádať, ktorá je hlbšia:
4. príklad
Každý z nasledujúcich výrokov povedala jedna z dvoch studní.
- „Ja som staršia.“
- „Nie, ja som staršia.“
- „Druhý výrok povedala hlbšia z nás.“
- „Prvý výrok bol nepravdivý.“
Každá studňa striedavo klame a hovorí pravdu (nevieme, čím začína). Je hlbšia staršia studňa alebo mladšia?
„Naozaj im veríme, ktorá z nich je hlbšia?“
„Ja by som vyskúšal zistiť, aké hlboké sú, ale kamene nám došli a aj tak boli moc malé na to, aby sme ich počuli dopadnúť.“
Vtom im ale padol zrak na dva betónové pražce pohodené v strede cesty a napadlo im, že tie by mohli byť dosť veľké na to, aby ich počuli dopadnúť. Keď prvý z nich dvíhali, všimli si, že má na sebe vyryté sériové číslo.
5. príklad
Sériové číslo pražca je desaťciferné a má nasledujúcu peknú vlastnosť: prvá číslica označuje počet číslic 1 v čísle, druhá počet dvojok, …, deviata počet deviatiek, a posledná počet núl. Nájdite všetky čísla, ktoré môžu byť sériovým číslom pražca. Nezabudnite ukázať, že úloha nemôže mať iné riešenia ako tie, ktoré nájdete.
Hodili teda oba pražce do studne, ale ani tie nepočuli dopadnúť. Tak im napadlo, že by mohli vypočítať, aká hlboká je studňa, z gravitačného zrýchlenia. Nepamätali si však úplne vzorec, a tak začali spomínať na hodiny fyziky.
„Pamätám si, že gravitačné zrýchlenie sa rátalo nejak s A, lebo však to je zrýchlenie, a potom tam bolo nejaké I…“
„Podľa mňa tam bola aj nejaká druhá mocnina a H, lebo však H je výška…“
6. príklad
Ako tak spolu skladali vzorec, tak dostali nasledovnú rovnicu:
ABCDEFGHI = (BBDDG)^2
Vieme, že ABCDEFGHI a BBDDG sú čísla, v ktorých každé z písmen A až I reprezentuje inú nenulovú cifru. Pomôžte Merlinovi a Mackerovi nájsť obe čísla.
„Joj, toto nefunguje, nemôže mať studňa hĺbku v jednotkách Watt Fahrenheit na liter kubický, to nedáva zmysel.“
Keď už to chceli vzdať, tak im napadla ešte jedna vec. Keď už sú pri studni, tak do nej hodia mincu a zaželajú si niečo.
7. príklad
Macker má vo vrecku 2021 mincí hodnôt 1 až 2021 (jednu mincu každej hodnoty). Ak hodí do studne mince aspoň v hodnote 2022, tak sa mu splní jedno želanie a studňa mu vráti mincu, ktorej hodnota je priemerná hodnota mincí, ktoré do nej vhodil (takáto minca nemusí mať celočíselnú hodnotu). Koľko najviac želaní si vie splniť?
Keď si Macker splnil aj posledné želanie a neostali mu už mince, všimol si, že studňa má nad sebou mechanizmus na spúšťanie vedra a naberanie vody.
„Merlin! Ak by sme dokázali zistiť ako tento stroj funguje, mohli by sme spustiť do studne vedro a dozvedieť sa, aká je hlboká!“
8. príklad
Stroj na spúšťanie vedier je zložený z kosoštvorca ABCD, v ktorom platí |AC| = 24\,\text{cm}. Okolo jeho vrcholov sú narysované kružnice k_A, k_B, k_C, k_D, postupne so stredmi v A, B, C, D, ktoré spĺňajú:
- k_B a k_D sa dotýkajú všetkých kružníc,
- k_B má polomer 5\,\text{cm}.
Na to, aby vedeli Merlin s Mackerom zmerať hĺbku studne, potrebujú vedieť polomery všetkých kružníc. Pomôžte im ich zistiť.
Keď sa im podarilo spustiť vedro do studne, tak čakali, kedy dopadne na hladinu. Čakali, čakali a čakali…
…
A čakali…
…
Ako tak čakali, všimli si na zemi vyryté čísla a rozhodli sa, že sa s nimi zahrajú nasledujúcu hru:
9. príklad
V prachu je vyrytých niekoľko prirodzených čísel. Merlin aj Macker obaja vedia na svojom ťahu zmazať dve čísla a napísať namiesto nich ich súčet alebo ich najväčšieho spoločného deliteľa. Merlin chce dosiahnuť, aby na konci ostalo párne číslo, a Macker chce nepárne. Prvý je na ťahu Merlin. Kto má výhernú stratégiu pre aké čísla?
Poznámka: Výherná stratégia znamená, že hráč vie pomocou nej vyhrať bez ohľadu na to, ako hrá jeho súper.V momente, keď hru dohrali, k nim pribehla koza. Skôr ako sa stihli spamätať, skočila do studne. Potom pribehla ďalšia a skočila do studne tiež.
10. príklad
Dráhy kôz ako bežali a skočili do studne boli nasledovné. Studne 1 a 2 sú kružnice k_1 a k_2 so stredmi S_1 a S_2 a polomermi r_1 a r_2. Prvá koza bežala po priamke, ktorá prechádza S_1 a je dotyčnicou k_2 v bode P_2. Druhá koza bežala po priamke, ktorá prechádzala S_2 a bola dotyčnicou k_1 v bode P_1. Dráha prvej kozy pretla k_1 v bode Q_1 a dráha druhej kozy pretla k_2 v bode Q_2, a to tak, že P_1, P_2, Q_1 a Q_2 všetky ležia na rovnakej strane priamky S_1S_2. Aby ale kozy hladko leteli do studne, tak by malo platiť, že priamky Q_1Q_2 a S_1S_2 sú rovnobežné. Dokážte, že to naozaj platí.
Vtom za Mackerom a Merlinom došli dvaja starší páni a vyzerali, že čosi hľadajú.
„Mládenci, nevideli ste moju kozu Lízinku?“
„Alebo moju kozu Rízinku? Pásla sa tu neďaleko na lúke.“
„Videli sme dve kozy ako pribehli a skočili do studne, nemohli to byť ony?“
Na to starčekovia jednohlasne odpovedali: “To nemohla byť Lízinka/Rízinka, ona totiž bola priviazaná o betónový pražec.“