Zadania 3. kola
“Hahá, teraz niečo uvidíte!” rozkrikoval sa Badin, “vznik môjho nového nekonečného seriálu!”
Jedna z postáv, akýsi svalnatý muž s dlhými vlasmi, sa na Badina rozohnal, avšak jeho päsť zastala 5 centimetrov od Badina a ďalej sa nepohla.
“Pusť nás!”
“Nie nie, teraz budete tu. Budem kráľom televízie. Áno!” tešil sa Badin a rozhadzoval rukami. Kým sa nepozeral, čatami elitných údržbárov v tichosti prechádzali rozkazy.
“Štvorka, naľavo, trojka, napravo. Ostatní čelne.” Spolu s Peťkom ostali teda len 3 čaty. Bol priradený k niekoľkým ľudom, ktorý sa predstavili ako Erik, Danko, Oliver a Johnny. Peťka však zaujali najmä čísla nakreslené na ich oblekoch.
1. príklad
13 ľudí má na chrbte napísané číslo 1, 2 alebo 5. Koľko môže byť ľudí s číslom 5, ak je súčet všetkých čísel 52? Nezabudnite nájsť všetky možnosti.
“No naspäť k vám,” otočil sa zrazu Badin, “to som vám dal zabrať, čo? Aj keď ten poplach som si mohol odpustiť, to by som sa ani uháňať nemusel. Ale konečne ste tu aj vy! Pripravte sa na zrod najsamlepšieho príbehu, aký kedy existoval! No nič, pome na to.”
Peťka striaslo. Videl pomaly sa blížiacich výsadkárov, ako sa k skupine potajme blížia zboku. Mozog mu pracoval na plné obrátky. “O čom to bude príbeh?” zakričal.
Badin sa otočil. “No, totiž… uhmm. Chápeš, nechcem prezrádzať predsa! Ale určite tam budeeeeee… napríklad tento!” podišiel k mužovi, v ktorom Peťko spoznal Silného Tóna, a ďobol doňho, “a aj tento! Aj tento aj tento aj tento!”
Postavy rozostavené okolo Badina neochotne uhýbali a snažili sa niečo robiť, avšak od Badina sa dostať nedokázali.
“Tri a štyri, teraz. Ideme.” Všetkých 5 čát sa bez hluku dalo do pohybu. Badin si to po chvíli všimol.
“Hej!” Strhla sa trma vrma, a Peťko si nepamätal, čo sa presne stalo. Keď neskôr na situáciu s ich čatou spomínali, nepamätali si ju úplne presne.
2. príklad
Na Badina v nejakom poradí útočili títo ľudia: Danko, Johnny, Erik a Oliver. Traja pozorovatelia o nich povedali takéto tvrdenia:
- Katka: 1. bol Danko, 2. bol Erik, 3. bol Johnny, 4. bol Oliver.
- Zuzka: 1. bol Oliver, 2. bol Johnny, 3. bol Danko, 4. bol Erik.
- Peťko: 1. bol Erik, 2. bol Johnny, 3. bol Oliver, 4. bol Danko.
Všetky Katkine tvrdenia sú nesprávne, zo Zuzkiných je pravdivé jedno a z Peťkových tiež iba jedno. Aké mohlo byť skutočné poradie? Nájdite všetky možnosti.
BUM!
Odrazu všetci odleteli a pristáli na kope, zatiaľ čo sa Badin oprašoval. “No a teraz som sa nahneval,” Badin podišiel k jednému z jeho zajatcov a vytrhol mu čosi z ruky. “Tu máte!” Na Peťka začali lietať obrovské kockovité útvary.
3. príklad
Máme 8 rovnakých štandardných hracích kociek s číslami 1 až 6 na stenách.
- Dokážeme z nich poskladať kocku 2\times2\times2 tak, aby sa kocky dotýkali stenami s rovnakým číslom?
- Dokážeme to isté ako (a.), aby navyše na povrchu veľkej kocky boli iba 3 rôzne čísla?
“Ústup!” ozvalo sa Peťkovi v slúchadle. Peťko sa tesne uhol obrovskej kocke, ktorá sa následne rozlomila na pár menších, a utekal naspäť. Keď sa celá skupina opäť stretla v riadiacej miestnosti, strhla sa panická debata a bolo počuť udivené spytovanie. Nikto nedokázal uveriť zdajnej Badinovej neprekonateľnosti.
“Ticho!” skríkla Klára. “Pozrime sa na to z inej stránky. Niekde to musí bežať, nie? Nájdeme podľa IPčka hostový server a zvonka ho vypneme?”
“Už sme sa na to pozerali,” ozval sa zozadu nejaký technik, “ale celá tá vec je zašifrovaná a IP je nejak hlúpo zahashované, nevieme poriadne nič zistiť. Chalan si to ošetril.”
“Rozkódujte to, nech na tom pracujú všetci.”
4. príklad
Na displeji bolo štvorciferné číslo n. Pod ním sa objavilo číslo n zaokrúhlené na desiatky, pod nimi číslo n zaokrúhlené na stovky a úplne dole bolo číslo n zaokrúhlené na tisícky. Keď sme všetky čísla na displeji sčítali, dostali sme výsledok 5443. Aké mohlo byť n? Nájdite všetky možnosti.
"Sem sme sa už dostali," povedal podráždene technik Kláre. "A ďalej moc nevieme ako."
"Vytiahnite si z toho nejaké informácie alebo niečo, nedá sa to?"
"Áno, ale niektoré informácie sú návnady. V skutočnosti nie sú pravdivé."
5. príklad
Máme číslo, o ktorom sme sa dozvedeli 14 informácií. Prvá je, že číslo je deliteľné 1, druhá, že deliteľné 2, tretia že 3, a tak ďalej až po 14. Vieme, že niektoré 2 po sebe idúce informácie sú nepravdivé (a všetky ostatné pravdivé). Ktoré sú tie nepravdivé?
“Ok, máme to!” skríkol zrazu jeden technik.
“Skvelo. Skúste sa do toho nabúrať, alebo prípadne zistiť lokáciu serveru.”
“Ideme na to.”
Po detailnejšom prizretí na monitor objavila vedľa daného servera akúsi podivuhodnú značku v tvare hviezdičky. Zdalo sa jej, že niečo podobné už videla.
6. príklad
Máme 7-cípu hviezdu ako na obrázku. Zistite súčet vnútorných uhlov v jej cípoch.
“Tento odznak sa automaticky priraďuje novovzniknutým severom, čo je v tomto prípade absolútne pochopiteľné,” upokojoval technik Kláru.
“Hmm,” zachmúrila sa Klára “Dobre no. A dajte mi vedieť, keď ho nájdete.”
“To ale tak rýchlo nebude. Môžeme tu byť fakt dlho.”
A naozaj boli. Klára radšej začala sledovať, ako Peťko so Štepom hrajú hru s Peťkovými vreckovkami.
7. príklad
Máme kôpku n papierikov. Peťko a Štepa hrajú hru, pričom Peťko začína. V každom ťahu je možné zobrať 2 papieriky, zobrať 3 papieriky, alebo rozdeliť jeden papierik na 2 menšie, ale rozdelenie papieriku je možné iba vtedy, ak predošlým ťahom súpera nebolo rozdelenie papieriku. Hráč, ktorý nevie spraviť ťah, vyhráva. Kto vyhráva pre ktoré n?
O chvíľu boli výsledky. Techinkom sa bohužiaľ nepodarilo server dostať pod kontrolu, avšak podarilo sa nájsť jeho polohu v serverovni. Sektor C18, usporiadaný do tvaru trojuholníka.
8. príklad
Majme rovnostranný trojuholník. Vieme v ňom nájsť taký vnútorný bod X, že každá priamka prechádzajúca bodom X rozdelí náš trojuholník na 2 obsahovo rovnaké časti? Ak áno, určte o aký bod sa jedná, ak nie, ukážte prečo. Čo ak by náš trojuholník nebol rovnostranný?
Peťko sa spolu s špeciálnou jednotkou údržbárov a technikov niesol hlboko hlboko do serverovne. Ako sa Badinovi podarilo server nabúrať? Mal predsa rovnaké zabezpečenie ako všetky ostatné. To je už však jedno, teraz hlavne treba v tej spleti chodieb server nájsť.
9. príklad
Nájdi všetky kladné reálne x,y,z pre ktoré platí:
\begin{aligned} x+\left\lfloor y \right\rfloor+\{z\}=1{,}1 \\ y+\left\lfloor z \right\rfloor+\{x\}=2{,}2 \\ z+\left\lfloor x \right\rfloor+\{y\}=3{,}3 \end{aligned}
Poznámka: \left\lfloor k \right\rfloor je dolná celá časť k a \{k\} je desatinná časť k. Napríklad \left\lfloor 4{,}5 \right\rfloor = 4 a \{4{,}5\} = 0{,}5.Celá delegácia sa vydala smerom ku správnej sekcii serverovne. Ako sa približovali, napätie stúpalo…
10. príklad
Máme postupnosť čísel f_1, f_2, \dots, kde f_1 = 2 a f_2 = 3. Pre každé ďalšie f_k platí f_k = f_{k - 1} + f_{k - 2}. Začiatok postupnosti je teda 2, 3, 5, 8, 13, \dots
Zoberme si nejaké kladné celé číslo n. Toto číslo v prvom kroku nahradíme najbližším násobkom f_1 (ak sú dva násobky rovnako blízko, zoberieme ten menší). Takto získané číslo v ďalšom kroku nahradíme najbližším násobkom f_2, toto nové číslo potom najbližším násobkom f_3, a tak ďalej. Nájdite všetky čísla n, s ktorými sme mohli začínať, ak sme po nejakom počte krokov dostali číslo 0, a vysvetlite, prečo ostatné čísla nevyhovujú.
Poznámka: Číslo 0 považujeme za násobok ľubovoľného celého čísla.Sme skoro tu. Peťko od veľkej krabice servera príliš neočakával, avšak niečo uchytilo jeho pozornosť. Pri veľkej konke, v ktorej bežal serverový počítač, sa na zemi ligotal akýsi prístroj, ktorý Peťko po krátkej prehliadke okamžite spoznal. Brána.
“Nestačí mu tú bránu vypojiť a zobrať magické predmety?” opýtal sa opatrne Peťko technika.
“Malo by,” pokrčil technik plecami. Usmiali sa. A od toho dňa majú v CTU domáceho miláčika Badina a Peťko spáva so slúchadlami proti hluku.