Verzia na tlač sa pripravuje...

Zadania 2. kola

Termín: 30. marec 2023 22:00
Aktuálny termín sa nachádza na stránke https://riesky.sk

To, čo nasledovalo, si Peťko pamätal len letmo. Všetko sa zbehlo tak rýchlo. Klára s eskortou akýchsi svalnáčov, ktorých Peťko ešte v živote nevidel, zaviedla Jägra a Peťka spletitými chodbami až kamsi do ešte hlbšieho podzemia. Čo však Peťka znepokojovalo najviac bol fakt, že Klára počas celého drobného výletu komunikovala s niekým v slúchadle a vyzerala naozaj nesvoja. Vedenie predsa nebýva takto nervózne. Keď sa skupina natrepala do akéhosi vysoko zabezpečeného výťahu a začala klesať, Peťkov jediný oporný bod sa stal Jäger, vyzerajúci ako vždy neprítomne. Tu ani jeden z nich nebol. Vtom výťah klikol. Boli tu. Vystúpili v akejsi čulo obývanej dôležito vyzerajúcej miestnosti.

1. príklad

Kategórie:
5

Miestnosť bola rozdelená na niekoľko rovnakých štvoruholníkových oddelení, pričom každé oddelenie má obvod 17 metrov. Aký obvod má celá miestnosť?

Klára ich zaviedla priamo k centrálnemu stolu.
“Tu ich máte.” nonšalantne oznámila hlúčiku pri stole.
“Výborne,” unavene odpovedal bradatý týpek od stola.
“Niet času na moc vysvetľovania. Za chvíľu idete do terénu,” kývol na bránu v rohu miestnosti. “Pán operátor, choďte si to nastaviť. Vy poďte sem.”
Peťko podišiel k stolu, na ktorom bol na obrazovke zobrazený graf s číslami. Spoznával ich. Boli to označenia univerz, avšak na rozdiel od jemu známych kategórii A a C, tu boli roztrúsené najmä Tčka, Gčka a videl aj jedno Kčko.
“Ako iste viete, votrelec odišiel z Céčok a teraz chodí tu. Hľadáme spojenia medzi votrelcom a navštívenými subjektami,” prerušil ho bradáč a ukázal na graf. “Úplne nám totiž zmizol z radaru. Vidíme len, keď odíde. Tu je poradie.”

2. príklad

Kategórie:
5
6

Doplňte do kruhov v grafe celé čísla od 1 po 8 tak, aby žiadne dve po sebe idúce čísla neboli spojené čiarou a vo vyfarbených kruhoch boli nepárne čísla. Nezabudnite nájsť všetky riešenia a vysvetliť, prečo už žiadne ďalšie neexistujú.

“Pôjdete preskúmať terén do T-026M. Viac už koordinátor zásahov tu. Choďte sa pripraviť.” K Peťkovi pristúpil kučeravý chalan s okuliarmi a predstavil sa ako Štepa. Obaja podišli k bráne na vedení, kde ich už čakal Jäger.
“Dobre, ako viete, votrelec interaguje s Céčkami, takže niečo možno budú vedieť. Nemáme čas zisťovať informácie normálnou cestou, takže sa proste budete pýtať. Viete základy interakcie s Céčkami?” Povzdychol si, keď obaja zavrteli hlavou. “Tak proste sa tvárte tak, že je úplne normálne, že ste sa zjavili z ničoho nič. Poďte ale už!”
Idem. Peter sa nadýchol a vstúpil do brány. Chvíľu mu trvalo, kým zistil, že už je na mieste, pretože prišiel do veľmi podobného prostredia - do akejsi dielne. Ihneď jeho pozornosť upútal nejaký na modro žiariaci kruh na stole. Vyžarovala z neho energia.

3. príklad

Kategórie:
5
6
7

Kruh mal po obvode rozložených 6 krúžkov ako na obrázku. V každom z nich bola napísaná nejaká číslica. Číslice boli navzájom rôzne a žiadna z nich nebola nula. Keď rozdelíme kruh na polovicu

Akých 6 číslic by mohlo byť napísaných do krúžkov a aké bude ich poradie? Nájdite všetky možnosti a vysvetlite, prečo žiadne ďalšie už nie sú.

“Zaujímavé. Pekné konfigurácie na oblúkoch.” Peťko sa začal ďalej rozhliadať po hypermodernej dielni. Okrem zvláštnych kovových figurín v sklenených vitrínach ho prekvapil najmä obrovský neporiadok. Kusy prístrojov boli všade, dotyčný zrejme odišiel náhlivo. Alebo s niečím bojoval. Peťka striaslo.
“Hľadaj obyvateľov,” ozvalo sa zo slúchadla.
Vybral sa teda cez sklenené dvere po schodoch hore a z ničoho nič sa ocitol v obrovskom milionárskom príbytku.
“Tóno? Si to ty?” ozvalo sa zrazu.
Po schodoch z horného poschodia schádzala vyľakane vyzerajúca žena.
“Čo je s Tónom? Kam zmizol?”
“Pani, hľadáme ho, nebojte sa. Máte prosím kamerové systémy?”
“Áno, ale Tóno ich má nejak zaheslované, akési pole čísel.”

4. príklad

Kategórie:
5
6
7
8

Zámok bol v tvare štvorčekovej siete 5 \times 5. V každom políčku bolo jedno kladné celé číslo tak, aby súčet každých troch susedných čísel (vedľa seba v jednom riadku alebo v jednom stĺpci) bol 6. Zároveň bol súčet všetkých čísel najväčší, aký je s takouto podmienkou možné docieliť. Nájdite takéto usporiadanie a dokážte, že ide skutočne o najväčší možný súčet.

“Tu je to,” ukázala žena na obrazovku, “07102010_garage12, záznam zo včerajška. Pustite to, Tóno zmizol okolo obeda.”
Peťko rozklikol video, pretočil záznam na 12:00 a s prekvapením zistil, že záznam je z pohľadu jednej z kovových figurín.
Muž, zrejme Tóno, stál pri akejsi zváračke. Zrazu sa pod ním otvoril zelený portál a Tóno sa prepadol rovno do zeme. Spoza rohu vyskočí muž, ktorého opis sa zhodoval s tým Peťkovým a skočil za ním, vzápätí sa portál zatvoril.
“Nájdite mi ho, dobre?”
“Urobíme, čo sa bude dať,” odpovedal Peťko, ako sa pripravoval na návrat cez bránu.
Na druhej strane ho však čakala kuriózna scéna. Celé osadenstvo miestnosti bolo zoradené pred veľkým vznášajúcim sa rozhraním a študovalo akési zaujímavé číslo.

5. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9

Na obrazovke sa nachádzalo štvorciferné číslo. Vieme, že jeho cifry sú všetky rôzne a že jeho ciferný súčet je 16. Taktiež vieme, že dvojnásobok tohto čísla je palindróm. Aké môže byť toto číslo? Nájdite všetky možnosti.

Poznámka: Palindróm je číslo, ktoré vyzerá rovnako spredu aj odzadu, napríklad 12321.

“Čo to je?”
“Moľovi napadlo, že nájdeme kúsky konštrukčného kódu v systémových presunoch, keďže votrelec presunul objekt z jedného subjektu do druhého,” začal Štepa.
Peťko mu skočil do reči: “Takže to tam je Tónov konštrukčný kód? Kto je Moľ?”
“Môžem? Moľ je správca. A nie, kód je ten reťazec pod tým, hento sú súradnice. Ale nič zatiaľ nenašlo, asi preto, že ho ten tupec zobral aj s tou zváračkou, tá nám to hľadanie pravdepodobne kazí. Takže šup, ideme späť k tradičnej detektívnej práci.”
Peťko sa pozrel na to, čo si z diaľky myslel že je tri krát podčiarknuté číslo, a radšej po pokyne od Jägra vošiel do brány. A ak predchádzajúce prostredie dielne vyzeralo moderne, toto bolo jeho presným opakom. Peťko sa ocitol na staručkej železničnej stanici, kde už uchodení študenti čakali na vlak.

6. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9

Z Kamenného hradu vyrážajú ráno dva vlaky (osobák a rýchlik) v rovnakom čase rovnakou rýchlosťou smerom do dediny. Keď prídu do dediny, rozdelia sa a osobák sa vráti na hrad po rovnakej trase. Rýchlik pokračuje až do mesta, a tam sa otáča a ide po rovnakej trase naspäť až do hradu.

Dve skupiny študentov z mesta sa ráno vybrali do školy na Kamennom hrade. Prvá skupina vyrazila o 6\text{:}00, prešla pešo do dediny a presne stihla osobák. Druhá skupina vyrazila o 7\text{:}00 rýchlikom priamo z mesta na hrad, a tak prišli do školy o 20 minút neskôr ako ich spolužiaci z osobáku.

Ako dlho trvalo študentom prejsť pešo z mesta do dediny?

Môžete predpokladať, že oba vlaky sa celý čas pohybujú stále tou istou rýchlosťou a otáčanie vlakov ako aj nastupovanie študentov trvá nulový čas (vlak odchádza z dediny a z mesta v tom istom momente, ako prišiel).

Peťko chvatne nastúpil do vlaku. “A čo teraz? Je tu tak milión študentov.”
“Presmerovali sme ťa na najbližšie bezpečné súradnice k anomálii. Nájdi Céčka, ktoré vidia alebo vedia o nejakom zmiznutí.”
“Ale ako?”
“A ja neviem, niečo vymysli.”
Tak super, ty génius. No, pozrime sa na to. Hľadáme dvoch študentov, ktorým sa pred očami vyparil kamarát, a zrejme nebudú tak vytešení ako ostatní. Peťko sa cítil ako Hercule Poirot, keď chodil od kupé ku kupé a obhliadal si džavotajúcich študentov. Môžeme predpokladať, že sú asi sami v kupé. Čo ešte? Nejak si tieto podmienky dá dohromady.

7. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9

Nájdite všetky číslice A, B, pre ktoré platí:

\begin{aligned} \text{NSD}(AB, BA) = A + B \\ \text{nsn}(AB, BA) = 5 \cdot AB \end{aligned}

Poznámka: AB znamená číslice A a B napísané vedľa seba. \text{NSD} je najväčší spoločný deliteľ a \text{nsn} najmenší spoločný násobok.

Peťko nakukol do kupé, kde sa chlapec potichu rozprával s nejakou dievčinou. Obaja ostražito vzhliadli na Peťka.
“Ahojte, nevyparil sa vám pred očami váš kamarát?” opýtal sa Peťko ako by sa nechumelilo.
“Skôr ho niekto uniesol, akurát to chceme ísť nahlásiť,” dievča sa zamračilo, “odkiaľ to vieš?”
“Pátram po ňom. Po tom únoscovi. Teda po oboch, chápete. Taký vysoký s čiernymi vlasmi ako vrabčie hniezdo, že? Ušiel cez portál. Aaaaa mal so sebou takého…” Peťko zapátral v pamäti, “muža s čiernou bradou a zváračkou.”
“Všetko je správne, ale ten týpek bol len jeden.”
Peťko sa na nich zmätene pozrel.
O chvíľu už stál na vedení “…a niekam ich zrejme posiela.”
“A nevieme ho nejak sledovať, predpovedať alebo niečo?” spytovala sa namrzená Klára, “však aha, chodí takto.”

8. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9

Klára si zobrala plochu, na ktorej boli nakreslené body X a Y. Potom si na nej zvolila bod A a zostrojila ďalšie body nasledovne:

Kláre sa však nechce hľadať toľko stredových súmerností. Namiesto toho by radšej zostrojila rovno bod D ako obraz bodu A v stredovej súmernosti podľa nejakého bodu Z. Existuje takýto bod Z, ktorý má túto vlastnosť, bez ohľadu na to, ako si Klára vyberie bod A? Ak áno, ako ho má nájsť?

“No, nie úplne. Dáva to síce zmysel, ale ono to celé vedie… nikam. Výsledok nevychádza. Také miesto v databáze proste nemáme,” ozval sa Štepa, “čo to je za človeka?” Vedenie stíchlo, ako sa každý ponoril do svojich myšlienok. Spravil tak aj Peťko.
Kam? Kam všetci miznú? Môže ich nejako schovať? Možno. Alebo ich presúva? Nie, to predsa nie je možné, ak ich hľadajú v celučičkej databáze. Ibaže by… Ibaže…
“Vedel by potenciálny útočník vytvoriť nové univerzum mimo vašej databázy?”
Miestnosť zamrzla.
“Inu.. akože asi áno…”
“Tak na čo čakáte? Ak vieme, ako sa dokáže schovať, vieme ho aj nájsť!”
“Ono to je trochu zložitejšie ako si myslíš, to nie je ako hľadať súbor v počítači. Vie nám však pomôcť to, že každý subjekt musí mať isté konštrukčné prvky.”

9. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9

Subjekt je n-uholník s n vrcholmi a všetkými jeho uhlopriečkami aj stranami. Možné počty vrcholov sú n = 7, 8, 10, 11, 12. Pre každý z týchto útvarov zistite, či vieme zafarbiť jeho uhlopriečky (a strany) niekoľkými farbami tak, aby pre jeho ľubovoľné dva vrcholy A a B existoval práve jeden vrchol C taký, že trojuholník ABC má všetky hrany rovnakej farby.

“Podľa tvaru subjektu sa odvodzujú aj kategórie. A každý subjekt má iné konštrukčné prvky,” zakončil správca siete.
“Takže by sme museli vedieť, ktorý subjekt ten sviniar použil,” skonštatovala Klára.
Peťko nechápal. “Nemôžeme hľadať všetky kategórie naraz?”
Správca naňho vypleštil oči. “Chceš na tom stroji hádam robiť praženicu? Nie.”
“A čo tak aspoň vylúčiť tie kategórie, ktoré to určite byť nemôžu, pozrite.” Peťko začal niečo čmárať na papier a Klára so Štepom k nemu podišli.
“To by fungovať mohlo.”

10. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9

Máme kladné celé čísla a, b a c, pričom platí, že súčin každej dvojice je deliteľný tým tretím. Dokáž, že keď si zvolíme ľubovoľné a a b, bude nepárny počet vyhovujúcich c.

“Mám ho,” vydýchol po hodnej chvíli správca. Osadenstvo veliteľskej miestnosti sa okamžite prebralo. Peťko vystrelil na nohy, rovnako ako celá čata elitných údržbárov, ktorých sem priviedli na túto príležitosť. Štepa len pokynul, “zneškodniť alebo zajať”. Peťko napäto prikývol a prešiel cez bránu.
S ostatnými údržbármi sa ocitli uprostred… ničoho. Všade rozprestierajúca sa pláň bola narušená len skupinkou postáv asi sto metrov ďaleko. Peťko si priložil prst k ústam. Ticho. Ako sa však približovali, Peťkovi sa vysoká postava, ktorá mu dnes urobila zo života peklo, začala byť povedomá.
Odkiaľ? Pred 4 rokmi pracoval ako brigádnik televízneho poradcu. Ako sa to tam volalo? Ten človek mu je povedomý. Ceruzka? Nie nie. Úporne sa snažil rozpamätať na odznak, ktorý dnes ráno našiel. Bližšie. Peťko okrajovo vnímal ako sa postava otočila. To je ono. Badin.
“Tak, už tu mám aj vás, fiškusi.”