Zadania 1. kola
Peťko jeden večer zaspal. Spal nezvyčajne tvrdo a dokonca sa mu aj snívalo. Bol to ale zvláštny sen, pretože zo začiatku bol krásny, len tak si ležal a hral svoju kartičkovú hru, keď zrazu niekto začal kričať o poplach.
„POPLACH!“
Peťko sa prebudil.
„POPLACH! Zamestnanec číslo 420, dostavte sa okamžite na bránu 74. Informácie vám poskytne operátor. POPLACH!“
Peťko vyskočil.
„POPLACH!“
Aaaaa, kde mám veci? Tu. Čo sa to môže diať?
„POPLACH!“
Ticho tam, už idem!
Rýchlo sa obliekol a šprintoval pomedzi červeným svetlom zaliate chodby ubytovne CTU, kľučkujúc okolo iných zmätených pracovníkov, takzvaných ‘údržbárov’.
„POPLACH!“
Konečne dobehol k oddeleniu misií. Brána 74, brána 74. To budeee, sektor 3, táto chodba. Zobúdzajúc sa bežal dlhou chodbou.
1. príklad
Chodba sa skladá z niekoľkých blokov. V každom bloku je brána buď naľavo, alebo napravo, alebo aj naľavo aj napravo. V 13 blokoch je brána iba na jednej strane, 11 blokov má bránu naľavo, 12 napravo. Koľko blokov dlhá je chodba a koľko je ktorých typov blokov?
Keď Peťko dorazil na 74ku, jeho operátor Jäger bol už tam a nastavoval si slúchadlá.
„Čo sa to dopekla deje?“ spýtal sa Peťko popri tom, ako si zbrklo nasadzoval oblek.
„Zhrniem to: píše mi tu, že naprieč celou animákovou sekciou sa vyskytli štrukturálne chyby a celé je to tam na hlavu. Do takej miery, že chyby máme po vizuálnej inšpekcii nahlásiť vývojárom,“ nezaujato odvetil Jäger.
„He? Čo sa pokazilo?“
„Hovorilo sa o masovej sabotáži. Niekto sa nabúral, tak už bež, nech to celé neskolabuje.“
Peťko naliehavo vstúpil do brány, a ako mnohí iní údržbári, len otvoril ústa úžasom. Zeleno-purpurové stromy lemovali obrovský pokrútený domček, pred ktorým na krivom basketbalovom ihrisku behali 3 metre vysoké čudesné postavy. Vtom k Peťkovi pristúpil akýsi muž s v modrých šortkách a predstavil sa ako Šnehfan.
„Vieš hrať streetball?“ znela jeho prvá otázka.
2. príklad
Peťko, Šnehfan a jeho 7 kamarátov si každý obliekli dresy s číslom od 1 do 9 (každé číslo raz). Rozdeľte hráčov s dresmi do troch tímov tak, aby:
- v každom tíme bolo rovnako veľa hráčov,
- v každom tíme bol rovnaký súčet čísel na dresoch,
- v jednom tíme boli len hráči s nepárnym číslom na drese.
Nájdite všetky možnosti.
Peťko rýchlo zistil, že proti 3 metre vysokým hráčom sa hrá naozaj ťažko. V tíme mal však Šnehfana, ktorý napriek normálnej výške hádzal kôš za košom. Spokojne tak nahlasoval Jägrovi všetko, čo vidí.
„Mám to,“ ozvalo sa po chvíli zo slúchadla, „že vraj nám to trvalo dlho, za chvíľu nás pošlú do menej rozštie…“
Jägra prerušil rev Peťkovho tretieho spoluhráča. Šnehfan totiž práve vystrelil z konca ihriska.
„ŠNEHFAN KARÍ Z DOLNÉHO MESTAAAA!“ ryk sa ozval lesom, keď lopta iba šuchla sieťku vnútri koša. Peťko sa chystal to osláviť, ale Jäger ho už stihol poslať ďalej. Po chvíľkovom zmätku sa poobzeral. Nepáčilo sa mu tam. Stál v ponurej chladnej chodbe, kde sa pred ním podivuhodná skupinka snažila zistiť kód k akýmsi veľkým tajuplným dverám.
3. príklad
„Kód je štvorciferné číslo,“ povedal vysoký blond mladík.
Na to mu odpovedalo dievča v oranžovom svetri: „Ja som včera započula, že jednotlivé cifry sú prvočísla.“
Z kúta sa ozval vystrašený bradatý chalan: „J-ja, ja som niekde zistil, že prvé dvojčíslie (prvá a druhá číslica napísané vedľa seba) je prvočíslo, druhé dvojčíslie (druhá a tretia číslica) je tiež prvočíslo a aj tretie dvojčíslie (tretia a štvrtá číslica) je prvočíslo.“
Aký je kód? Nájdite všetky možnosti.
Peťko sa len pozeral, ako skupinka odomyká dvere. Vydýchol si, lebo zo skupiny ho najviac znervózňoval obrovský kocúr, ktorý sa na smrť vystrašene lepil na tiež ujakaného bradáča. Ako prešľapoval na mieste, ozval sa Jäger: „Máme ich, posielam ďalej.“
Kým sa Peťkovi zatmelo, ešte stihol začuť blonďáka zvolať: „A máme ho!“
Keď opäť uvidel, potešil sa, lebo na rozdiel od ošarpaného prostredia minulého univerza bol tento kraj Peťkovmu srdcu blízky. Kam oko dovidí sa rozprestierali malebné hory a lesy, s ovečkami rozosiatimi po lúkach. Z ničoho nič sa však objavilo toľko oviec, že by pre celý svet mohli ušiť kabáty z toľkej bavlny.
„Ojojojojoj! Už som to skoro mau!“ ozvalo sa spoza Peťka. Otočil sa. Za ním sedeli dvaja podivuhodne oblečení miestni so svojim pastierskym psom a čosi úpenlivo počítali.
4. príklad
Dvaja piráti a ich pes počítajú ovce. Počet oviec musí spĺňať nasledujúce podmienky:
- Je to šesťciferné kladné celé číslo.
- Je deliteľné 45 bezo zvyšku.
- Na mieste stotisícok má číslicu 1.
- Na mieste tisícok má číslicu 2.
- Na mieste desiatok má číslicu 3.
Koľko rôznych počtov oviec spĺňa tieto podmienky?
Tí skúsenosti s matikou nemajú. Peťko sa po vyriešení príkladu zoznámil a zistil, že to v skutočnosti nie sú piráti, len tak vyzerali ich klobúky. Vtom sa približne polovica oviec vyparila do vzduchu.
„Uuuuj! Zase sa nám úbožiakom to stalô! Dnes už tretí raz. Ojojojojoj!“
„Neustále len ovce rátame.“
Aha. Tam sa to pokazilo. Peťko sa posadil a vychutnával si prekrásne prostredie. Po chvíli sa ozval Jäger: „Ideme ďalej, hlásia mi, že tu je situácia dosť chaotická.“
To, čo Peťko po chvíli uvidel, ho zdesilo. Z tohto univerza nezostalo nič. Videl len bielu pláň. Počkať. Tam v diaľke… áno, niekto tam beží v kruhoch.
5. príklad
Pláň je nekonečná štvorcová sieť. Na nej máme medveďa a svišťa, ktorí sa naháňajú, a vždy sú na susedných políčkach. V každom kroku sa pohnú tak, že:
- svišť sa teraz rohom, ale nie stranou, dotýka políčka, na ktorom stál v predchádzajúcom kroku medveď,
- medveď sa nedotýka ani jedného z políčok, na ktorých stáli svišť alebo medveď v predchádzajúcom kroku, stranou ani rohom,
- svišť a medveď stále susedia stranou.
Na ktoré všetky pozície (vzhľadom na tú začiatočnú) sa vedia medveď a svišť dostať po ľubovoľnom počte krokov?
„Okej, máme to,“ ozvalo sa pomerne rýchlo zo slúchadla. Peťko si vydýchol, no hneď na to znovu spozornel.
„Novinky. Strašne sme zrýchlili, tak nás vedenie preradilo. Dostali sme špeciálnu misiu. V skratke: niekto sa nabúral do systému, ten sa pomiatol a výsledok vidíš. Prvé varovania vyskočili 24 minút predtým, než došlo k tomuto chaosu a to rovno zo štyroch univerz. My a iný operačný tím ich máme preskúmať. Dve a dve. Máme si dávať pozor, niektoré nie sú až také neškodné. Ready?“
Peťko len preglgol a dal Jägrovi pokyn. Stmavlo mu pred očami, no namiesto akéhokoľvek priestoru sa mu pred očami zjavila žlto-zlatistá postava v tvare trojuholníka s jedným jediným okom v strede. Trojuholník sa mu začal omamne prihovárať…
6. príklad
Postava mala tvar trojuholníka ABC. V trojuholníku ABC označme D priesečník osi uhla BAC a strany BC. Platí, že AD=AC a navyše je uhol ACB dvakrát taký veľký ako uhol ABC. Určte veľkosti vnútorných uhlov trojuholníka ABC.
„Haló! Prečo spí?“ počul tlmene Peťko. Otvoril oči. Stálo nad ním dievča v ružovom roláku a zhováralo sa s mohutným starším pánom s veľkou sivou bradou a okuliarmi.
„To bude nejaký ďalší. Mercedes!“ zavolal do chodby. Peťko sa zatiaľ pozviechal. V ústrety mu z tmavej chodbičky vyšla takmer dokonalá kópia muža, ktorý ho našiel, avšak s jedným rozdielom - bez brady.
„Aha! Hľadáte kolegu?“ otázal sa.
„Akého kolegu?“
„Pred nedávnom sem prišiel taký ako vy, a zaujímal sa o niektoré moje prístroje.“
Peťko sa zachmúril a pocítil zimomriavky. „Viete mi ukázať ktoré?“
„Samozrejme, tadiaľto. Tu je ten prvý, to je ten dokončený. Slúži na overenie pravdepodobnosti, či konaním zmením budúcnosť k horšiemu. Ukážem vám to.“
7. príklad
V stroji je na začiatku uložené číslo 1. My stroju zadáme ako vstup nejaké kladné celé číslo x a stroj si 5-krát vyberie a urobí jednu z nasledovných operácií:
- k číslu uloženému v stroji pripočíta x,
- alebo číslo uložené v stroji vynásobí x.
Výsledok potom bude číslo, ktoré má stroj uložené po všetkých piatich krokoch. Napríklad ak si zvolíme x = 3, potom postupnosť čísel uložených v stroji môže vyzerať napríklad takto:
\displaystyle 1 \xrightarrow{+ 3} 4 \xrightarrow{\cdot 3} 12 \xrightarrow{+ 3} 15 \xrightarrow{+ 3} 18 \xrightarrow{\cdot 3} 54
Pre ktoré vstupy x môže stroj dostať výsledok 100? Prečo sa to pre tie ostatné nedá?
Peťko pozorne počúval. „Vyzeral ten cudzinec, že jeho záujem tento stroj nejako uspokojil?“
„Práveže nie, vyzeral sklamane. Ukážem vám ešte druhý…“
„Počkajte chvíľku, musím si niečo vybaviť.“
Peťko podišiel do rohu. „Jäger? Jäger, pozri históriu vstupov pred a po útoku. Niekto tu totiž bol a vyzvedal od Céčok, musel to byť niekto zvonka. Zistím čo chcel.“
„Hm? Aha. Okej okej,“ ozvalo sa, Peťko už však nevnímal.
„Poviete mi teda, čo robí táto nádhera a ako vlastne funguje?“ prihovoril sa Mercedesovi, ťukajúcemu čosi do obrazovky.
„Je to transdimenzionálna brána. Či skôr, chcela by byť. Nie je hotová, pár vecí chce doladiť a hlavne, neviem sa z prípadných potuliek vrátiť.“
8. príklad
Súradnice sú zadané vo forme dvoch prirodzených dvojciferných čísel. Tieto čísla zaokrúhlime na desiatky. Určte, aké čísla to boli pôvodne, ak rozdiel zaokruhlených čísel je rovnaký ako rozdiel pôvodných čísel, a súčin zaokruhlených čísel je o 184 väčší ako súčin pôvodných čísel.
„Vskutku zaujímavé,“ mrmlal si popod nos Peťko, „vedeli by ste mi prosím opísať, ako ten človek vyzeral?“
„Ale prirodzene, bol vysoký, útly a mal čierne vlasy. Á, ešte mal okuliare. Deje sa niečo, že ho hľadáte?“
Možno, pomyslel si Peťko. „Ďakujem veľmi pekne. Jäger?“
O chvíľu už Peťko stál opäť pri bráne 74, tentokrát v spoločnosti jednej z úschovných koordinátoriek.
„Dobrá práca,“ ocenila ho. Peťko si podvedome vybavil meno – Klára.
„Prišla som pomôcť s vyšetrovaním, tu Jäger našiel niečo dosť podstatné. Vysvetli mu to.“
Jäger sa nadýchol a spustil: „Ide o to posledné univerzum. Detekovali sme kontamináciu, a to je hrubé porušenie pravidiel, takže predpokladáme, že nám v systéme behá votrelec. Je to akýsi odznak či logo. Pozri.“
Peťko začal skúmať znak skladajúci sa z akýchsi dvoch obdĺžnikov a pravouhlého trojuholníka.
9. príklad
V znaku bol pravouhlý trojuholník RAK s pravým uhlom pri vrchole K. Na RA si zvolíme bod E tak, aby |AE| = |AK|. Na kolmici na RA prechádzajúcej bodom R zvolíme bod T tak, aby |RT| = |RK| a aby body T, K boli v rovnakej polrovine určenej priamkou RA. Dokážte, že body R,E,K,T ležia na kružnici.
„Čo je tá podivuhodná dúha?“
„Nemám tucha. Ale dávaj pozor, ak niečo také nájdeš v ďalšom subjekte, prípadne zisti od Céčok,“ vysveľovala Klára.
„To je ešte jedno z tých, ktoré hlásili chyby už pred masovým útokom?“ otázal sa Peťko.
„Áno. Stotridsaťsedmička, kategória C. Bolo navštívené ako posledné pred tým, než sa spustilo toto peklo,“ Klára okolo seba rozhodila rukami, „avšak musíme ešte chvíľu počkať. Po útoku sme tieto univerzá uzamkli, nech vieme extrahovať stopy. Čakám na dodatočné heslá od správcu siete… aaa už sa hlási.“
Klára podišla k operačnému panelu a hodnú chvíľu čosi ťukala. „Už sa môžete pripravovať, pán výsadkár,“ pokynula Peťkovi. „Ospravedlňujem sa za zdržanie, je to naozaj silno zabezpečené.“
10. príklad
Subjekt je zabezpečený najvyšším stupňom ochrany a k prístupu je tak potrebných niekoľko hesiel. Máme jedného správcu siete a 4 koordinátorov, pričom každý z nich pozná niektoré z hesiel. Heslá sú rozdelené tak, aby správca spolu s ľubovoľným koordinátorom alebo ľubovoľní traja koordinátori spolu mohli získať prístup. Naopak správca sám ani žiadna dvojica koordinátorov prístup získať nesmie.
Aký je najmenší počet hesiel, akými môže byť subjekt zabezpečený? Nájdite pre tento počet aspoň jedno rozdelenie jednotlivých hesiel medzi koordinátorov a správcu a dokážte, že menej hesiel nestačí.
Keď s malou dušičkou Peťko vstúpil do posledného univerza, bol až očarený aurou normálnosti. Stál pred garážou normálneho domu, na normálnej ulici v normálnom meste.
„Dotkni sa mojich ešte raz a vecí a skapeš.“ nahnevane ho privítal akýsi chrapľavý hlas. Peťko sa otočil. Chrbtom k nemu stál starší muž v bielom plášti s výbuchom šedých vlasov na hlave a čosi v garáži skrutkoval.
„Niekto vám niečo ukradol?“ spýtal sa Peťko.
Muž sa otočil. „Ah, to je niekto iný. Nejaký špinavec mi zobral portálovú zbraň. Nevie ju používať a nevie ako vyrobiť náplň. Idiot.“
Peťka zahriali zimomriavky. Portál. Vtom sa zo slúchadla ozvala spanikarená Klára: „Okamžite sa vráťte! Máme obrovské problémy!“