Kategórie:
5

Zadanie

Skala, na vrchole ktorej sa tento hrad nachádza, má veľmi špicatý tvar, ako na obrázku. Každý štvorček štvorčekovej siete má obsah 1. Vypočítajte obsah skaly (šedej časti obrázku).

Vzorové riešenie

Opravovali: Danko, Prutky

Ako prvé si môžeme všimnúť, že sa v našom obrázku nachádza veľa jednoduchých útvarov ktorým vieme vyrátať obsah.

Obsah obdĺžnika vyrátame vynásobením jeho šírky a dĺžky.
Obsah trojuholníka, ktorého 2 strany sú stranami obdĺžnika vyrátame tak, že obsah celého obdĺžnika vydelíme dvoma.

Teraz si môžeme rozdeliť celý obrázok na takéto jednoduché útvary, ktorým vieme vyrátať obsah:


trojuholníky A a B majú obsah 5\cdot2:2=5
obdĺžnik C má obsah 2\cdot3=6
trojuholník D má obsah 4\cdot3:2=6
obdĺžnik E má obsah 5\cdot1=5
trojuholník F má obsah 5\cdot1:2=2{,}5
trojuholníky G a H majú obsah 3\cdot2:2=3
obdĺžnik I má obsah 3\cdot3=9

Nakoniec nám tu zostal jeden útvar — X. Jeho obsah nevieme jednoducho rozdeliť na útvary, ktorých obsah by sme dokázali zrátať. Môžeme si ale všimnúť, že ak doplníme k tomuto útvaru trojuholník F, tak už budeme schopný vypočítať jeho obsah. Vieme si ho totiž rozdeliť na jednoduchý obdĺžnik a trojuholník:


obsah obdĺžnika bude 2\cdot4=8 a obsah trojuholníka bude 3\cdot4:2=6. Teraz odčítame obsah trojuholníka F, ktorý sme pridali, aby sme dostali obsah tohoto útvaru. Bude to 8+6-2{,}5=11{,}5.
Keď už poznáme obsahy všetkých útvarov v hore, stačí ich len sčítať:

5+9+3+11,5=28{,}5

Existuje ešte jeden, trochu trikovejší spôsob, s ktorým si teraz môžme porovnať náš výsledok. Tento spôsob spočíva v tom, že si vyrátame obsah celého obrázku a odčítame útvary ktoré sú mimo hory. To je jednoduché, keďže obsah útvarov B,C,D,E,F,G sme už vyrátali, a celý obrázok má veľkosť 7\cdot8, teda obsah 56.

Výpočet preto bude vyzerať takto

56-5-6-6-5-2{,}5-3=28{,}5

a teda sedí s našim prvým výsledkom.

Odpoveď: Obsah hory je 28{,}5.

Komentár
Väčšina riešení bola dobrá až na pár, v ktorých bol zle vyrátaný obsah útvaru X. Mnohí ste si pekne vyfarbili jednotlivé časti čo veľmi sprehľadnilo riešenie.